Ћюдибиографии, истории, факты, фотографии

ѕьер ƒелинь

   /   

Pierre Deligne

   /
             
‘отографи€ ѕьер ƒелинь (photo Pierre Deligne)
   

ƒень рождени€: 03.10.1944 года
ћесто рождени€: Ѕрюссель, ¬еликобритани€
¬озраст: 76 лет

√ражданство: Ѕельги€

¬о многом случайное доказательство

Ѕельгийский математик

ƒнем 20 марта 2013 года стало известно, что јбелевскую премию Ч престижнейшую награду в мире математики Ч в 2013 году получил ѕьер ƒелинь с формулировкой Ђза вклад в алгебраическую геометрию, который оказал существенное воздействие на теорию чисел, теорию представлений и смежные областиї. «аранее имена лауреатов премии не разглашаютс€, но сомнений в том, что ƒелинь (к слову, обладатель множества престижнейших наград, в том числе и ‘илдсовской медали) рано или поздно получит јбелевскую премию, не было. ƒелинь стал 13-м лауреатом награды, денежна€ составл€юща€ которой равна 800 тыс€чам евро.

30.03.2013

÷еремони€ объ€влени€ лауреатов транслировалась в интернете. —разу после того, как им€ победител€ было объ€влено, слово предоставили профессору “имоти √ауэрсу, который по традиции должен был прочитать небольшую лекцию, посв€щенную достижени€м лауреата. ќн начал свое выступление так: ЂЁто уже третий раз, когда мне предоставлена честь выступить с попул€рной лекцией о лауреате јбелевской премии, лекцией, предназначенной дл€ самой широкой аудитории. ¬ этом году передо мной стоит наиболее сложна€ задача. ƒва года назад, когда € рассказывал о ƒжоне ћилноре, € пользовалс€ картинками, ведь ћилнор Ч автор работ по геометрии. ¬ прошлом году, когда преми€ досталась јндре —емереди, € без труда излагал доказанные им утверждени€ Ч ведь они (эти утверждени€) формулировались в достаточно простых терминах (притом что их доказательства, конечно, были крайне сложны). Ќесмотр€ на то что в работах ƒелин€ есть геометрическа€ составл€юща€, ее так просто не проиллюстрируешь. — другой стороны, и сами его утверждени€ формулируютс€ в очень непростых терминахї.

ѕьер ƒелинь фотографи€
ѕьер ƒелинь фотографи€

“рудно было бы сказать лучше: алгебраическа€ геометри€ даже среди математиков считаетс€ крайне сложной наукой с совершенно обособленной лексикой. “ем не менее, ниже речь пойдет именно о ней. ѕричем это потому, что попул€рно изложить другие результаты ƒелин€, отмеченные Ќорвежской академией наук (а именно создание теории стеков ƒелин€-ћамфорда и работы по монодромии), Ч задача еще более неподъемна€.  роме того, главное достижение лауреата 2013 года Ч доказательство гипотез ¬ейл€ Ч тесно св€зано с другими област€ми математики, о которых в некотором смысле говорить проще. ѕравда, сразу же предупредим читател€, что цель этого текста Ч лишь в общих чертах объ€снить условие задачи, то есть результаты, которых добилс€ ƒелинь. ƒаже намеки на примерную схему его решени€ из-за неподъемности мы оставл€ем за кадром.

√ипотеза –амануджана и тау-функци€

Ќачнем мы со школьной задачи по комбинаторике, котора€, казалось бы, никак не св€зана с геометрией. ” людоеда, который неожиданно решил стать вегетарианцем, в подвале том€тс€ 27 пленников. Ћюдоед решает отпустить пленников, но планирует делать это так: каждый день отпускать троих. —колько есть способов выбрать первую тройку счастливчиков? ќтвет хорошо известен Ч это так называемое число сочетаний из 27 по 3. ¬ общем виде формула дл€ количества способов выбрать k элементов из n-элементного множества имеет вид n!/(k! (n - k)!), где n! означает Ђфакториал числа nї, то есть произведение всех целых чисел от 1 до n. ¬ предыдущей задаче в этой формуле k = 3, а n = 27 (ответ, если интересно, будет равен 2925).

≈сли зафиксировать n, то полученную формулу можно рассматривать как формулу, задающую функцию f от k. ƒл€ k > n эту функцию можно доопределить нулем: действительно, в условии первоначальной задачи вз€ть 28 из 27 узников не получитс€. «начени€ нашей функции обладают следующим зан€тным свойством: в выражении (1 + q)n Ч это бином Ќьютона Ч соответствующее f(k) будет просто коэффициентом при k-ой степени переменной q. ¬ некотором смысле бином несет всю нужную нам информацию о f(k). “акой объект называетс€ производ€щей функцией последовательности и с середины XVIII века используетс€ в математике сплошь и р€дом Ч от теории чисел до теории веро€тностей.

“ау-функцию, о которой идет речь в заголовке этого раздела, тоже удобно задавать производ€щей функцией. ќна выгл€дит, конечно, несколько сложнее:

«нак ѕ означает произведение, а значок Ђбесконечної сверху указывает, что рассматриваетс€ произведение бесконечного числа множителей.  аждый множитель Ч бином Ќьютона дл€ n = 24, причем это число выбрано не случайно и св€зано с очень симметричной решеткой в 24-мерном пространстве, известной как решетка Ћича. ¬ бесконечном количестве множителей в формуле нет ничего страшного. Ћегко пон€ть, что если начать вычисл€ть произведение, то при каждой степени переменной q будет сто€ть конечное число. Ёто св€зано с тем фактом, что показатель при этой степени линейно растет, а значит, в формировании коэффициента, скажем, при q53 будет участвовать не более чем конечное число коэффициентов, в частности, они содержатс€ среди коэффициентов первых 53-х скобок. “аким образом, запись можно считать удобной формальностью. ѕервые несколько значений тау-функции таковы: τ(1) = 1, τ(2) = −24, τ(3) = 252.

“ау-функци€ активно используетс€ в теории чисел. ƒело в том, что ответы на многие вопросы в этой науке дать в точных терминах невозможно, поэтому математики ограничиваютс€ разного рода оценками. “ак вот, во многих оценках естественным образом возникает тау-функци€. ¬первые она по€вилась в работе Ўриниваса –амануджана в 1916 году. “огда же –амануджан обнаружил у нее р€д свойств, три из которых не смог доказать. ƒва из трех были доказаны всего спуст€ год, а вот третье, получившее название гипотезы –амануджана, продержалось до 70-х годов прошлого века. Ёта гипотеза утверждала, что модуль τ(p) дл€ любого простого p не превосходит 2p5,5. ¬ 1971 году ƒелинь показал, что истинность гипотезы –амануджана (на самом деле Ч чуть более общего утверждени€, известного как гипотеза –амануджана-ѕетерссона) следует из гипотез ¬ейл€.

Ћучшие дн€

 удесник из  ургана
ѕосетило:13558
√авриил »лизаров
јлексей Ѕаталов: Ќе торгу€сь с судьбой
ѕосетило:10481
јлексей Ѕаталов
ѕенсионер покоривший гору  илиманджаро
ѕосетило:8665
–ичард Ѕайерли

√ипотезы ¬ейл€

ѕрежде чем говорить о гипотезах ¬ейл€, необходимо объ€снить, что такое конечные пол€. ѕолем в математике называетс€ множество с набором операций (обычно их обозначают сложением и умножением), обладающих определенным свойством. ѕростейший пример пол€ Ч это множество действительных чисел. ¬о-первых, элементы этого множества можно складывать, причем сложение ассоциативно (то есть p + (q + r) = (p + q) + r); коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не мен€етс€); есть нейтральный элемент, называемый нулем (нейтральный, то есть его сумма с любым числом дает это же число), и дл€ каждого элемента q определен обратный -q, сумма с которым дает нейтральный элемент. ¬о-вторых, элементы этого множества можно умножать, причем умножение также ассоциативно, коммутативно, обладает нейтральным элементом (единица) и дл€ каждого ненулевого q определен обратный элемент 1/q, произведение с которым дает нейтральный элемент, то есть единицу. —ложение и умножение св€заны так называемым дистрибутивным законом p (q + r) = pq + pr.

ќказываетс€, что таким набором свойств обладают многие другие множества, простейшим из которых €вл€етс€ множество остатков при делении на какое-нибудь простое число, скажем, на 5. ќбозначим эти остатки 0, 1, 2, 3, 4. »х удобно представл€ть себе записанными по кругу. ≈сли нужно сложить два числа, скажем, 4 и 3, то нужно по этому кругу просто отсчитать от четырех три шага. Ћегко проверить, что в таком случае 4 + 3 = 2. ќказываетс€, такое сложение ассоциативно и коммутативно. Ќейтральным элементом в таком множестве будет 0, и дл€ каждого элемента имеетс€ обратный (например, дл€ 4 это 1, а дл€ 3 это 2). —ложнее показать, что дл€ умножени€ тоже выполн€ютс€ все за€вленные свойства.

ѕолученное таким образом поле называют полем вычетов по модулю 5 и обозначают F5. Ќужно отметить, что дл€ каждого простого числа p и натурального k существует ровно одно поле, в котором pk элементов.

“акого рода объекты наход€т применение, например, в криптографии, квантовой механике, функциональном анализе и теории √алуа. ¬ообще над такими пол€ми можно строить полноценную геометрию, записыва€ уравнени€ Ђкривыхї, Ђповерхностейї, и Ч реша€ эти уравнени€ Ч находить точки, которые принадлежат той или иной поверхности. ¬ этом и заключаетс€ причина неверо€тной мощи алгебраической геометрии Ч она дает возможность выработать единый подход к проблемам из, казалось бы, совершенно разных областей математики, часто позвол€€ использовать скрытую геометрию задачи, которую никаким другим образом обнаружить невозможно.

—ама€ естественна€ характеристика поверхности над полем Ч это количество ее решений (так как пол€ конечны, то таких решений также не более чем конечное число), то есть количество точек в поверхности. ƒл€ каждого k при фиксированном p можно определить, как уже говорилось выше, поле из pk элементов.  оличество точек в поверхности, задаваемой системой уравнений (многочленов с целыми коэффициентами), обозначим через ak. Ѕудем увеличивать k, оставл€€ систему уравнений неизменной. ƒл€ получившейс€ последовательности можно определить так называемую зета-функцию (в подробности о том, почему она задаетс€ именно такой формулой, мы вдаватьс€ не будем).

“ри гипотезы ¬ейл€ Ч всего их было четыре штуки Ч касались именно Z(x). ≈ще одна гипотеза утверждала, что получивша€с€ геометри€ по-насто€щему геометрична Ч она говорила, что дл€ таких систем есть очень естественное пон€тие когомологий. Ёто основной инструмент, которым пользуютс€ топологи при изучении структур тех или иных поверхностей (многообразий). “очные формулировки гипотез можно посмотреть здесь.

¬место заключени€

»менно их и доказал в 1974 году ѕьер ƒелинь. Ёто доказательство стало результатом синтеза множества разрозненных результатов (в том числе и его непосредственного учител€ јлександра √ротендика) из самых разных областей. ¬ телефонном интервью сразу после вручени€ награды ƒелинь призналс€, что его доказательство во многом случайно Ч так получилось, что математическое любопытство заводило его в такие области, где, по идее, ему быть не следовало.

≈сть веро€тность, что читатель мог не справитьс€ с изложенной здесь математикой. ќднако ему не стоит себ€ корить: как говорилось выше, алгебраическа€ геометри€ Ч темный лес и дл€ многих серьезных математиков.  ак бы то ни было, важно понимать, что ѕьеру ƒелиню дали премию заслуженно, за большое дело. ¬ы пока поверьте, а поймете потом.




¬аш комментарий (*):
я не робот...

Ћучшие недели

¬семирна€ истори€ шпионажа
ѕосетило:15644
 арл √устав ћаннергейм
—емейный бизнес
ѕосетило:10239
ƒэвид –окфеллер
јлександр —окуров: »сконна€ натура кинематографа
ѕосетило:10614
јлександр —окуров

ƒобавьте свою информацию

«десь
јдминистраци€ проекта admin @ peoples.ru